Institutionen för matematik, KTH
Mats Boij
5B1118 Diskret matematik
26 november 2001
5B1118 Diskret matematik
Nionde föreläsningen
Grafer
Institutionen för matematik, KTH
Mats Boij
5B1118 Diskret matematik
26 november 2001
Grafer
4En graf är ett matematiskt begrepp sominförs för att kunna räkna p₢ olika slagsrelationer.
4Euler var den förste som användegrafteoretiska resonemang när han lösteproblemet med Königsbergs broar.
Institutionen för matematik, KTH
Mats Boij
5B1118 Diskret matematik
26 november 2001
Königsbergs broar
4I Königsberg fanns sju broar som bandsamman de olika stadsdelarna.
4Kan man g₢ en promenad s₢ att man g₢röver varje bro precis en g₢ng?
Institutionen för matematik, KTH
Mats Boij
5B1118 Diskret matematik
26 november 2001
Eulers graf
4Euler införde en graf
där ett hörn, , motsvarar en stadsdel ochen kant, , motsvarar en bro.
Institutionen för matematik, KTH
Mats Boij
5B1118 Diskret matematik
26 november 2001
Eulers lösning
4Euler gjorde följande observation:
–Varje g₢ng ett hörn passeras p₢ enpromenad används tv₢ kanter - utomvid första och sista hörnet.
–Om varje kant används precis en g₢ngf₢r det bara finnas tv₢ hörn med uddaantal kanter.
Institutionen för matematik, KTH
Mats Boij
5B1118 Diskret matematik
26 november 2001
Multigrafer
4Eulers graf kallas multigraf eftersom denhar parallella kanter
4En multigraf kan ocks₢ ha öglor ellerlopar
Institutionen för matematik, KTH
Mats Boij
5B1118 Diskret matematik
26 november 2001
Enkla grafer
4En graf utan parallella kanter och öglorkallas en enkel graf.
4En enkel graf best₢r abstrakt av
–En mängd av hörn V={x1,x2,...,xn,}.
–En mängd av kanter E={e1,e2,...,en} där enkant ei ={xj,xk} är en tv₢delmängd av V.
4En abstrakt graf kan representerasgeometriskt med punkter och linjer.
Institutionen för matematik, KTH
Mats Boij
5B1118 Diskret matematik
26 november 2001
Valens
4För ett hörn, x, i en graf kan vi räknaantalet kanter som utg₢r fr₢n hörnet.
Detta antal kallas hörnets valens ochbetecknas (x).
4Sats. Summan av valenserna är tv₢g₢nger antalet kanter.
(x)
Institutionen för matematik, KTH
Mats Boij
5B1118 Diskret matematik
26 november 2001
Vägar
4En väg i en graf är en följd av hörnx1,x2,...,xn där det g₢r en kant mellan xioch xi+1
1
2,6,10
3
4
5
9
7
11
Institutionen för matematik, KTH
Mats Boij
5B1118 Diskret matematik
26 november 2001
Stigar
4En stig i en graf är en väg där ingethörn förekommer mer än en g₢ng.
1
2
3
4
5
6
7
Institutionen för matematik, KTH
Mats Boij
5B1118 Diskret matematik
26 november 2001
Cykler
4En cykel i en graf är en stig förutomatt det första och det sista hörnet ärsamma.
1
2
3
4
5
6
7
8
Institutionen för matematik, KTH
Mats Boij
5B1118 Diskret matematik
26 november 2001
Komponenter
4En graf är sammanhängande om detfinns en väg mellan varje par av hörn.
4Vi f₢r en partition av en graf isamman-hängande komponenter.
Institutionen för matematik, KTH
Mats Boij
5B1118 Diskret matematik
26 november 2001
Hamiltoncykler
4En Hamiltonsk cykel är en cykel sompasserar alla hörn.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Institutionen för matematik, KTH
Mats Boij
5B1118 Diskret matematik
26 november 2001
Eulervägar
4En Eulerväg är en väg som passeraralla kanter.
4Sats. I en sammanhängande graf ´finnsdet en Eulerväg om och endast omhögst tv₢ hörn har udda valens.
3
1,8
2,6
4,7
5,9
Institutionen för matematik, KTH
Mats Boij
5B1118 Diskret matematik
26 november 2001
Isomorfi
4Tv₢ grafer är isomorfa om det g₢r attbyta namn p₢ hörnen s₢ att kantersvarar mot kanter.
Institutionen för matematik, KTH
Mats Boij
5B1118 Diskret matematik
26 november 2001
Träd
4En graf är ett träd om det finns precisen stig mellan varje par av hörn.
4Det betyder att grafen är samman-hängande och saknar cykler.
Institutionen för matematik, KTH
Mats Boij
5B1118 Diskret matematik
26 november 2001
Planära grafer
4En graf är planär om den kan ritas iplanet utan att kanterna skär varann.
Planär
Ej planär
Institutionen för matematik, KTH
Mats Boij
5B1118 Diskret matematik
26 november 2001
Hörnfärgning
4En hörnfärgning av en graf är ett sättatt färglägga hörnen s₢ att närst₢endehörn f₢r olika färg.
Institutionen för matematik, KTH
Mats Boij
5B1118 Diskret matematik
26 november 2001
Varför hörnfärgning?
4En viktig tillämpning av hörnfärgningär schemaläggning.
–Hörnen svarar mot aktiviteter somskall schemaläggas.
–Kanterna svarar motschemakrockar som skall undvikas.
Institutionen för matematik, KTH
Mats Boij
5B1118 Diskret matematik
26 november 2001
Fyrfärgssatsen
4Problemet att färglägga kartor s₢ attangränsande länder f₢r olika färg kanformuleras som
–Hur m₢nga färger krävs för atthörnfärga en planär graf?
4Sats. (Appel-Haken 1976) Varje planärgraf kan hörnfärgas med fyra färger.
Institutionen för matematik, KTH
Mats Boij
5B1118 Diskret matematik
26 november 2001
Kromatiska tal
Det kromatiska talet för en graf G, (G),är det minsta antal färger som krävs föratt hörnfärga G.
4Fyrfärgssatsen säger allts₢
– (G)4 om G är en planär graf.
Om (G)=1 finns inga kanter i G.
Om (G)=2 är G bipartit.