Symmetri

Karlstads Universitet

Karlstads Universitet

Modellering

Mats Brunström

Thomas Martinsson

Karlstads Universitet

Kursplanens mål att strävamot

Skolan skall i sin undervisning i

matematik sträva efter att eleverna

utvecklar sin förmåga att utforma,förfina

och använda matematiska modellersamt

att kritiskt bedöma modellernasförutsättningar, möjligheter ochbegränsningar

utvecklar sina kunskaper om hurinformationsteknik kan användas vidproblemlösning för att åskådliggöramatematiska samband och för attundersöka matematiska modeller

Karlstads Universitet

Ämnets karaktär ochuppbyggnad

Problemlösning, kommunikation,användning av matematiska modeller

och matematikens idéhistoria är fyra

viktiga aspekter av ämnet matematik

som genomsyrar undervisningen.

En viktig del av problemlösningen äratt

utforma och använda matematiskamodeller och på olika sättkommunicera om de matematiskaidéerna och tankegångarna.

Matematikens kraft som verktyg förförståelse och modellering avverkligheten blir tydlig om ämnettillämpas på områden som ärvälbekanta för eleverna.

Karlstads Universitet

KursenNaturvetenskaplig modellering

Kursens mål är

Uppleva nyttan avmatematikkunskaper särskiltinom biologi och naturvetenskap

Stärka det egna tänkandet (ochsjälvkänslan)

Öva att kommuniceramatematiska modeller i tal ochskrift

Karlstads Universitet

Uppleva nyttan

Ta tillräckligt med tid för attingående arbeta med väl valdaexempel

Börja med modeller och dator-simuleringar och därefterundervisa

Datorprogram ger möjlighet attstudera intressanta problem

Lära mer matematik och statistik

Karlstads Universitet

Stärka egnatänkandet

Studenterna äger problemet

Goda motiveringar istället för attgissa vad läraren tänker på

Att klara av komplexa problemstärker självförtroendet

Karlstads Universitet

Öva attkommuniceramatematiskamodeller

Kunna skriva eller tala för de sominte redan kan

Det dunkelt sagda är det dunkelttänkta

Hur kunna påverka beslutsfattare?

Karlstads Universitet

Exempel påproblemlösning därmodellen är given

I Skvallerköping sprids ett rykte på

följande sätt:

Dag 1 känner 5 personer till ryktet.

Alla som känner till ryktet sprider det

till 3 nya personer per dag.

Hur många känner till ryktet

a) dag 4

b) dag 20

Karlstads Universitet

Exempel på modellering

Ryktesspridning (eller spridning avsmitta)

Gör en modell för hur ett rykte kan

spridas på Karlstads universitet.

Antag att det är 10 000 personer som har

sin arbetsplats på Karlstads universitet.

Karlstads Universitet

Modell 1

Om vi antar att antalet nya som fårreda

på ryktet från en dag till nästa är

proportionellt mot antalet som redan

känner till ryktet skulle vi kunna ställa

upp följande rekursiva samband (där

an är antalet personer som känner till

ryktet dag n):

an+1 = k·an + an

Antalet nyasom får höraryktet

De somkände tillryktet redandag n

Karlstads Universitet

Om k = 1 blirformeln an+1 = 2∙an

Om a1 = 5 får manföljande graf

Karlstads Universitet

Modell 1 är bara användbarunder ett begränsat antaldagar

Detta är typiskt när man använder

exponentiell tillväxt som modell.

Modellen är ofta användbar under vissa

förutsättningar, men slutar efter ett tag att

gälla.

I ryktesspridningsexemplet blir dettauppenbart.

Det kan omöjligt vara 40 960 personer som

känner till ryktet dag 14.

Vi behöver en bättre modell!

Karlstads Universitet

Modell 2

Vi antar nu att antalet som får redapå ryktet under en viss dag ärproportionellt mot antalet tänkbaramöten mellan personer som kännertill ryktet (an) och personer som intekänner till ryktet (10 000 – an).

Detta ger följande modell:

an+1 = k∙an∙(10 000 – an) + an

Karlstads Universitet

Modell 2fortsättning

Om vi även här utgår från att 5personer

känner till ryktet dag 1 och 10personer

dag 2 blir k  0,0001

Den rekursiva formeln blir då:

an+1 = 0,0001∙an∙(10 000 – an) + an

eller

an+1 = 2∙an – 0,0001∙(an)2

Karlstads Universitet

an+1 = 2∙an – 0,0001∙(an)2

a1 = 5

Karlstads Universitet

Modell 2,kontinuerlig versionStella

Karlstads Universitet

Karlstads Universitet

FERTILITETSFUNKTIONEN

Fertiliteten beror av beståndets storlek så attden ökar med ökat bestånd upp till ett störstavärde. Ökar beståndet över denna optimala nivåså avtar fertiliteten på grund av matbrist,konkurrens om yngelplatser mm.

Karlstads Universitet

MORTALITETSFUNKTIONEN

Mortaliteten är relativt konstant närbeståndet är lågt, men om beståndet blirmycket stort ökar mortaliteten kraftigt pågrund av ökad konkurrens om mat mm.