Centralmått

Föreläsning 1, Introduktion

•Varför statistik?

•Population – Urval - Mätnivå

•Deskription

•Cirkeldiagram, stapeldiagram, histogram,spridningsdiagram, boxplot…

•Lägesmått (typvärde, median, medelvärde)

•Spridningsmått (variationsvidd, kvartilavstånd,standardavvikelse)

Statistiska metoder används för att

•sammanfatta samlade erfarenheter

•göra förutsägelser

•dra slutsatser

•fatta beslut då informationen är osäker.

Statistikerns roll är att INSAMLA, BEARBETA ochTOLKA data.

Statistik består av

•Ett antal tekniker

•Regler för när, var och hur dessa tekniker skallanvändas (metodologi)

Statistikämnets uppkomst och utveckling ärnära förknippat med behov inom andradiscipliner.

En statistisk undersöknings olikasteg

•Problemformulering

•Planering

•Datainsamling

•Analys

•Rapportering

Hur går en statistiskundersökning till?

•Obundet slumpmässigturval (OSU)

•Stratifierat urval

•Klusterurval

•Flerstegsurval

Obundet slumpmässigt urval

•Vid varje dragning av en enhet har de ipopulationen kvarvarande enheterna sammasannolikhet att bli valda

•Vid OSU av n enheter har alla möjligakombinationer av n enheter samma chans attbli valda

Stratifierat urval

•Populationen delas in i strata och ett OSU drasur varje stratum

•Skäl:

–Om resultatet skall redovisas för varje stratum kanurvalsstorlekarna för varje stratum avpassas så attvissa precisionskrav uppfylles utan att manerhåller överflödiga observationer från vissa strata

–Skattningar av populationsparametrar (t.ex.populationsmedelvärdet) kan göras med bättreprecision än vid ett OSU, om barastratifieringsvariabeln är ”bra” (homogentinom strata, heterogent mellan strata)

Gruppurval (klusterurval)

•Populationen delas in i grupper (kluster) avenheter. Ett antal sådan kluster väljsslumpmässigt. Samtliga enheter inom ettkluster undersöks.

•Skäl:

–Ramproblem

–Geografisk spridning

–Kostnader

Urvalsundersökningar

•Varför urvalsundersökning i stället förtotalundersökning?

–Billigare

–Snabbare

–Bättre mätning

–Praktiskt omöjligt med totalundersökning dåpopulationen är mycket stor eller oändlig

–Förstörande prov

Olika typer av urval

•Lättåtkomliga element

•Frivilliga svar

•Frivilliga försökspersoner

•Sannolikhetsurval

Sannolikhetsurval

•Urvalsenheterna väljs med hjälp av någonslumpmekanism

•För varje enhet är sannolikheten för attinkluderas i urvalet känd

Randomisering

•Randomisering innebär att slumpen avgör vilkenbehandling en undersökningsenhet tilldelas

•Genom randomisering undviks systematiska fel

•Randomisering medför att effekten av eneventuell behandling med hög grad av säkerhetoch precision kan fastställas med hjälp avstatistikteori

Med sannolikhetsurval kan man...

•ge objektiva mått på undersökningsresultatensprecision

•utforma en teori för effektivundersökningsplanering

•på förhand göra objektiva jämförelser mellan olikaurvalsplaner

•på förhand uppskatta erforderliga urvalsstorlekarför att uppnå önskad precision

population

Population

Stickprov, urval

INFERENS =

Dra slutsatser från data om hela

populationen utifrån ett stickprov

Data,observationer

Individer och variabler

•Individer, undersökningsobjekt

–De vi undersöker. De vi gör mätningar på. Kan varamänniskor, men kan också vara djur, bostadshus,kommuner, mm.

•Variabel

–En egenskap som kan variera mellan olikaindivider

•Variabler kan vara kvalitativa eller kvantitativa.

•Kvalitativ variabel: Indelning avundersökningsenheterna i olika kategorier.

–Ex: kön, civilstånd, gymnasieprogram,partitillhörighet

•Kvantitativ variabel: En variabel som är numerisk ochdär vi med hjälp av siffrorna kan uttala oss om hurmycket en undersökningsenhet har av en egenskap.

–Ex: ålder, längd, poäng på prov, inkomst

Olika typer av variabler

Diskreta och kontinuerliga variabler

•En kvantitativ variabel är antingen diskret ellerkontinuerlig.

–Diskret: Kan endast anta ett ändligt antal värdeneller kan anta ett oändlig antal värden som dock äruppräkneliga.

–Kontinuerlig: Kan anta alla värden i ett intervall.

Mätnivåer (skalnivåer)

•Nominal

–Endast klassificering

•Ordinal

–Klassificering och rangordning

•Intervall

–Klassificering, rangordning och ekvidistans

•Kvot

–Klassificering, rangordning, ekvidistans och absolutnollpunkt

DESKRIPTION

Bearbeta, tolka och redovisa resultat.

Vad ingår?

•Tabeller - Sammanfatta material

•Diagram - Åskådliggöra material

•Lägesmått - ”Genomsnitt” av material

•Spridningsmått - ”Variation” i material

Kvalitativa variabler

•För att visa en fördelning, i en population ellerett urval, när man har en kvalitativ variabel,kan man t.ex. använda ett stapeldiagram ellerett cirkeldiagram.

Stapeldiagram, en variabel. Absolutafrekvenser.

Stapeldiagram, en variabel. Relativafrekvenser.

Liggande stapeldiagram

Cirkeldiagram

Fotbollsspelarens rörelsemönster

Kvantitativa variabler

•När man har en kvantitativ variabel kan mant.ex. använda histogram eller ett stam-bladdiagram. Man kan även klassindelamaterialet och presentera det med hjälp av ettstapeldiagram.

Histogram. Nyfödda barns fördelningpå variabeln längd

Histogram. Åldersfördelning för etturval av högskoleprovtagare .

Stapeldiagram. Åldersfördelning för samtligahögskoleprovtagare våren 1987.

Stapeldiagram, två variabler

Stam-bladdiagram. Chefernasfördelning på anställningstid.

Anställningstid Stem-and-Leaf Plot

Frequency Stem & Leaf

4,00 0 . 2344

6,00 0 . 567889

7,00 1 . 0222233

8,00 1 . 56788899

9,00 2 . 111123344

5,00 2 . 56679

2,00 3 . 34

Stem width: 10,00

Each leaf: 1 case(s)

Tidsseriedata

•Tidsserier presenteras ofta med hjälp av s.k.linjediagram

•I linjediagram kan man ofta upptäcka sådantsom trender, cykler eller säsongsvariationer.

Privat konsumtion i USA

Försäljning, kvartalsdata

Pulsmätning

Spridningsdiagram

Beskrivande mått

•Med hjälp av beskrivande mått sammanfattasfördelningen av ett eller ett fåtal tal.

•Lägesmått används för att beskriva centrum:typvärde, median och medelvärde

•Spridningsmått används för att beskrivaspridningen: variationsvidd, kvartilavstånd,standardavvikelse

Lägesmått

•Typvärde: Det mest frekventa värdet

•Medianen, M: Värdet i mitten (rangordna)

–Udda antal värden : mittersta värdet

–Jämt antal värden: medelvärdet av de två mittersta

•Medelvärdet, x̄: Summan av alla värden delatmed antalet värden.

Exempel 1

Hemläxa: beräkna typvärde, median ochmedelvärde för följande tre dataset.

a)3, 5, 9, 7, 6, 9, 10 (Svar: 9; 7; 7)

b)3, 5, 9, 7, 6, 9, 100 (Svar: 9; 7; 19.86)

c) 3, 5, 9, 7, 6, 9, 10, 4 (Svar: 9; 6.5; 6.63)

Här är medelvärde och median lika. Hur ska man skiljapå dessa?

Spridningsmått

•Variationsvidden är skillnaden mellan detstörsta och det minsta värdet.

•Kvartilavståndet, IQR, anger inom vilketavstånd de 50% mittersta observationernaligger (Q3-Q1).

•Standardavvikelsen, s, beskriver hur mycketmätvärdena avviker från medelvärdet.

Kvartiler

•Kvartilerna delar upp datat i fyra lika storadelar.

–Första kvartilen (Q1): 25% av alla värden ärmindre än Q1

–Andra kvartilen (Q2): medianen

–Tredje kvartilen (Q3): 25% av alla värden är störreän Q3.

3, 5, 9, 7, 6, 9, 10

•Descriptive Statistics:

N Mean Minimum Q1 Median Q3 Maximum

7 7 3 5 7 9 10

Median

Inre

staket

Inre

staket

Yttrestaket

Kvartilavstånd IQR

Minsta punkteninom inrestaketet

Största punkteninom inre staketet

Misstänktoutlier

Outlier

Q1-3(IQR)

Q1-1.5(IQR)

Q3+1.5(IQR)

Q3+3(IQR)

Låddiagram (Boxplot)

3, 5, 9, 7, 6, 9, 100

•Descriptive Statistics:

N Mean Minimum Q1 Median Q3 Maximum

7 19,9 3 5 7 9 100

Exempel: BMI för fotbollsspelare (samtliga spelare i detvå bästa lagen år 2003) i fyra olika ligor.

Standardavvikelse

Beskriver hur mycket mätvärdena varierar kringmedelvärdet.

Stickprovsvarians, s2:

Stickprovsstandardavvikelse, s:

Exempel: 3, 5, 9, 7, 6, 9, 10

x̄

xi-x̄

(xi-x̄)2

Medel=7

Summa=38

Svar: medelvärde = (3+5+9+7+6+9+10)/7 = 7 statndardavvikelse = rot(((3-7)^2+…+(10-7)^2)/6)=rot(38/6)=2.52

Hemläxa: Beräkna medelvärde och standardavvikelse ? (använd formlerpå föregående sidor)

Hjälptabell

Exempel: Ålder

Descriptive Statistics: Ålder

Variable N Mean StDev Minimum Q1 Median Q3 Maximum

Ålder 50 42,58 11,21 23,00 32,75 42,00 50,25 64,00

nominal

ordinal

kvot

typvärde

median

(vissa fallmedelvärde)

medelvärde

variationsvidd

kvartilavstånd

standardavv.

Några felkällor vid statistiskaundersökningar

•Täckningsfel

–Övertäckning

•Urvalsramen innehåller individer som ej finns med imålpopulationen

–Undertäckning

•Urvalsramen saknar individer som finns med imålpopulationen

–Kan ge upphov till systematiska fel (bias)

•Bortfallsfel

–Individbortfall innebär att man från en ellerflera individer ej får något svar på t.ex. enpostenkät

–Partiellt bortfall innebär svarsvägran på vissafrågor

–Kan ge stora systematiska fel

•Mätfel

–Mätfel som beror på respondenten

–Mätfel som beror på intervjuaren

–Mätfel som beror på mätmetoden

–Mätfel som beror på frågeformuläret

Bearbetningsfel

•Kodningsfel

•Inmatningsfel

•Datorbearbetningsfel

Urvalsfel

•Uppstår när man studerar ett urval i stället förhela populationen

•Slumpmässigt och möjligt att uppskatta omurvalet görs ”korrekt”

Lärares roll

What lies ahead

•”You learn statistics by doing statistical problems.”Practice, practice, practice”. Be prepared to workproblems. The basic principle in learning ispersistence. Being organized and persistent is morehelpful in reading this book than knowing lots ofmath. The main ideas of statistics, like many ideas ofany important subject, took a long time to discoverand take some time to master. The gain will be worththe pain”.