732G70
Statistik A
FL4
Exempel tvådimensionellsannolikhetsfördelning
En viss typ av maskin består av 2 komponenter. Varje komponentkan ha 0, 1, 2 eller 3 fel vardera.
2
0
1
2
3
p(y)
0
0.41
0.12
0.02
0.01
0.56
1
0.10
0.11
0.03
0.02
0.26
2
0.05
0.02
0.01
0.00
0.08
3
0.02
0.08
0.00
0.00
0.10
p(x)
0.58
0.33
0.06
0.03
1.00
Y = antalet fel på komponent 2
X = antalet fel på komponent 1
Linjära kombinationer av tvåslumpvariabler (generella fallet)
Vi är intresserade av relationen
aX + bY + c
där
X och Y är slumpvariabler och a, b och c är konstanter.
Då gäller
E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c
Var(aX + bY + c) = a2Var(X) + b2Var(Y) + 2abCov(X, Y)
3
Linjära kombinationer av slumpvariabler
Om vi studerar en summa av två slumpvariabler förenklasformlerna till
Om variablerna är okorrelerade, dvs Cov(X, Y) = 0, förenklasformlerna för summa av slumpvariabler till
4
Slumpvariabler
Diskret kvantitativ variabel = variabel som endast kan antaendast heltalsvärden.
Exempel: antal anställda
Diskreta slumpvariabler åskådliggörs i stolpdiagram.
Kontinuerlig kvantitativ variabel = kan mätas med mångadecimalers noggrannhet
Exempel: en persons längd
Kontinuerliga slumpvariabler åskådliggörs med en mjuk kurva.
5
Normalfördelningen
6
En mycket viktig kontinuerlig fördelning, därför att den väldigt oftaåterkommer i statistiska beräkningar och spelar en mycket stor roll inomstatistiken.
Den funktion som beskriver normalfördelningen.
Behöver inte kunnas!
Normalfördelningen är symmetrisk
kring sitt väntevärde, 0 i detta fall
Exempel
7
Vi har under en längre tid studerat dagskassorna i en butik. Resultatet
åskådliggöres i följande histogram. Vi bestämmer den genomsnittliga
dagskassan till 9900 kr och standardavvikelsen till 1200 kr.
Vad är sannolikheten för att butiken en slumpmässigt vald dag har en
dagskassa understigande 7800 kr?
Population och stickprov
Population: en på logisk väg definierad grupp av enheter som viönskar dra slutsatser om.
Stickprov: slumpmässigt urval av enheter ur populationen.
= populationsmedelvärde (okänd sanning som vi önskarfinna)
= stickprovsmedelvärde
Vilken relation gäller mellan populationsmedelvärdet ochstickprovsmedelvärdet?
Frågan kan besvaras genom att studera sannolikhetsfördelningenför stickprovsmedelvärden.
8
Exempel
Vi studerar ett företag med 100 anställda, och är intresserade avden genomsnittliga månadslönen.
Baserat på företagets löneavdelnings statistik bestämmer vipopulationsmedellönen till
= 21889 kr
9
10
Vi noterar att lönefördelningen
inte är normalfördelad!
Histogram över lönefördelningen bland alla företagets 100 anställda
11
Urvalsfördelning för 20 stickprovsmedelvärden
12
Urvalsfördelning för 50 stickprovsmedelvärden
13
Urvalsfördelning för 10000 stickprovsmedelvärden
Centrala gränsvärdessatsen
Summan eller medelvärdet av n oberoendeslumpvariabler med samma fördelning ärungefär normalfördelad om n är tillräckligtstort
Summor och medelvärden beräknade påstora stickprov blir approximativtnormalfördelade oavsett populationensfördelning
14
Relation mellan populationsmedelvärdeoch stickprovsmedelvärde
Linjära kombinationer av normalfördelade variabler är
normalfördelade.
Om X ~ Nf(; ) så gäller för medelvärdet att
Om X ~ Nf(; ) så gäller för summan S = X1+X2+…+Xn att
15
Exempel 509 sidan 132
Den tid en viss typ av ljus brinner är normalfördelad medmedelvärdet 200 minuter och standardavvikelsen 3 minuter.Man tänder 4 ljus. Vad är sannolikheten att
a) Ljusen i genomsnitt brinner mer än 203 minuter?
b) Ljusen sammanlagt brinner mer än 812 minuter?
16
Normalapproximation avbinomialfördelningen
Om X ~ Bi(n, ) och
så kan vi approximera binomialfördelningen mednormalfördelningen enligt
Syfte: underlätta beräkningar som annars skulle bli mycket tunga,till och med för miniräknaren eller datorn.
17
Exempel
Baserat på marknadsandelar vet vi att 20% av konsumenternaföredrar vårt företags produkt. Vad är sannolikheten att av 70slumpmässigt utvalda konsumenter högst 20 väljer vårprodukt?
Antaganden som måste vara uppfyllda för binomialfördelning:
1.Vi har gjort ett stickprov från en stor population Det är ett rimligt antagande att marknaden är stor.
2.Alla observationer är oberoende av varandra Eftersom vi slumpmässigt valt ut konsumenter är detta rimligt.
3.Varje observation kan bara anta två värden Antingen väljer en konsument vår produkt, eller också inte.
4.Sannolikheten för ett visst utfall är hela tiden densamma Givet att populationen är stor och vi har gjort ett slumpmässigt urvalär det rimligt.
18
19
