Föreläsning 7
Analys av algoritmer
T(n) och ordo
Problemlösning tillsammans
Varför?
Behöver vi verkligen analysera algoritmer med dagensoch morgondagens snabba datorer?
Om tiden för en algoritm växer som n2 kommer en 100 gånger såsnabb dator bara att hinna med 10 gånger så stort problem.
Om ett problem växer som 2n är n = 100 olösligt (21001030). En 100gånger så snabb dator gör att problemet ”bara” tar lika lång tidsom 1028 skulle gjort på den gamla datorn.
Kan man inte bara testa algoritmerna?Förvisso en mycket bra ide som man inte bör glömmabort. Den har några problem (och en del fördelar):
Man måste koda algoritmen (och göra det bra/rättvist)
Vilka indata ska vi använda? typiska/slumpmässiga/extrema
Med fel algoritm tar problemet för lång tid att testa
Det gäller att tänka på overhead om vi använder små dataset.
Ett exempel
Vi väljer en karaktäristiskoperation och bestämmer hurmånga gånger den kommeratt utföras som funktion av n.
Denna funktion kallaskomplexitetsfunktionen ochskrivs T(n)
m = 0 ger T(n) =1
if-satsen ger T(n) = n-1
m = i ger ? …beror på a
Ett exempel till
väljer vi if-satsensom karaktäristiskoperation
W(n) – worst case, W(n) = n
B(n) – best case, B(n) = 1
A(n) – average, A(n) = (n+1)/2
A(n) är normalt svår eller omöjlig att bestämma då viinte vet hur indata kommer att variera. I mångatillämpningar är det viktigaste att veta maximal tid.Vi kommer därför att fokusera på W(n) och ofta sättaT(n) = W(n)
Ordo (big-Oh) notation
Vi kommer normalt inte veta hur snabb en karaktäristiskoperation är då den beror på kompilator,operativsystem och hårdvara. Vi är också mestintresserade av hur problemet växer för stora värden pån. Då kommer den term som växer snabbast att varaden enda viktiga för tillräckligt stora värden på n:T(n) = 3n2 + 2n + 3 3n2
Eftersom vi inte intresserar oss exakt för tidsåtgången föroperationen utan vill analysera vår algoritm blirkonstanten framför den största termen också ointressant:T(n) = 3n2 + 2n + 3 3n2 n2
Detta resonemang fångas matematiskt upp av ordo-begreppet där T(n) = 3n2 + 2n – 3 = O(n2)
Karakteristiska operationen tar 10-9 s:
Vilken term dominerar
Man kan visa och ni kan pröva att:2n växer snabbare än n7n7 växer snabbare än n6 om x>yn1,1 växer snabbare än nlognn0,1 (roten ur n) växer snabbare än logn
Empirisk analys
Vi väljer r++ som karaktäristiskoperation och körprogrammet för olika n:
Vi anpassar nu ett generellt tredjegradspolynom till våra data medtex mathematica eller maple:
Maple ger oss då:
eller:
Alltså får vi T(n) = O(n3)
Binär sökning
Vi ska nu försöka analysera algoritmenför att bestämma T(n) eller snarareW(n).
Vi börjar med observationen att ivärsta fall är:T(n) = 1 +T(n/2) och T(1) = 1
Vilket ger:
En dubbling av n ökar resultatetmed 1 vilket vi kan visa ger:
Alltså får vi T(n)=O(log(n))
Analys av rekursiv algoritm
Lösning
T(0)=0
Inlämningsuppgifter
7.1 redovisas senast fredag den 15 februari ochkan inte redovisas senare.